Würfelt das Universum – oder zählt es?
Ein Abendgespräch, das mit 100 Münzwürfen begann: Zufall, eine Excel-Tabelle und eine Frage der Quantenphysik, die bis heute offen ist.
Eines Abends bat ich Claude um etwas Einfaches: Schreib mir Python-Code, der 100-mal eine Münze wirft, und dann schauen wir, wie oft Kopf und wie oft Zahl kommt. Der Code war fünf Zeilen lang, das Ergebnis: 43-mal Kopf, 57-mal Zahl. Ich erhöhte auf 10.000 Würfe: 5010-mal Kopf, 4990-mal Zahl.
Meine erste Reaktion war Bewunderung: Was für einen schönen Zufallsmechanismus die Programmierer da gebaut haben – das Ergebnis liegt so nah an 50 %. Dann änderte sich die Frage. Und dann noch einmal. Am Ende fand ich mich mitten in einer der Grundsatzdebatten der Quantenphysik wieder. Dieser Beitrag ist das Protokoll dieses Gesprächs; den gesamten Code darin haben wir gemeinsam ausgeführt, die Tabellen sind echte Ausgaben.
1. Das Gleichgewicht ist ein Werk der Mathematik, nicht der Software
Der Code:
import random
ergebnisse = [random.choice(["Kopf", "Zahl"]) for _ in range(100)]
print("Kopf:", ergebnisse.count("Kopf"))
print("Zahl:", ergebnisse.count("Zahl"))Nirgends steht hier eine Zeile, die sagt: „Halte das Gleichgewicht.“ Jeder Wurf ist eine unabhängige 50/50-Entscheidung, die vom vorherigen nichts weiß. Dass die Summe trotzdem bei 50 % landet, hat einen Namen: das Gesetz der großen Zahlen.
Der subtile Teil: Die Abweichung wird eigentlich nicht kleiner – sie wächst. Nach n Würfen liegt die erwartete Abweichung bei ungefähr √n/2. Weil die Summe schneller wächst, schmilzt die Abweichung in Prozent dahin:
Würfe Kopf Diff. (Anz.) Diff. (%) √n/2
--------------------------------------------------------
10 5 0 0,00 % 2
100 46 4 4,00 % 5
1.000 489 11 1,10 % 16
10.000 5.017 17 0,17 % 50
100.000 50.120 120 0,12 % 158
1.000.000 499.410 590 0,06 % 500In absoluten Zahlen steigt die Differenz von 4 auf 590; in Prozent fällt sie von 4 % auf 0,06 %. Die Abweichung wächst mit √n, die Summe mit n; ihr Verhältnis ist 1/√n, und das geht gegen null.
So betrachtet ist mein Ergebnis mit 10.000 Würfen überhaupt nicht überraschend: Die erwartete Abweichung liegt bei etwa 50, meine war 10. Wäre genau 5000/5000 herausgekommen, dann hätte ich misstrauisch werden müssen.
2. Die eigentliche Leistung der Programmierer
Die Mathematik beginnt mit „wenn jeder Wurf unabhängig und gleich wahrscheinlich ist“. Genau diese Bedingung zu erfüllen, ist die schwierige Arbeit.
Pythons Modul random verwendet den Mersenne-Twister (MT19937). Ein vollständig deterministischer Algorithmus: Mit demselben Startwert (Seed) erzeugt er jedes Mal dieselbe Folge. Aber die Folge wiederholt sich erst nach 2¹⁹⁹³⁷−1 Schritten. Zum Vergleich: Die Zahl der Atome im Universum liegt bei etwa 2²⁶⁶. Außerdem kommen alle Kombinationen von bis zu 623 aufeinanderfolgenden Zahlen gleich häufig vor. Und genau das ist das Schwierige: Dass jede Zahl gleich oft kommt, ist leicht; dass es kein verborgenes Muster gibt, ist schwer.
Dazu kommt eine stille Falle. Eine Zufallszahl modulo der Listenlänge zu nehmen (zahl % 3), sieht harmlos aus, ist aber fehlerhaft: Nimmt man eine Zahl zwischen 0 und 255 modulo 3, kommt das erste Element 86-mal vor, die anderen je 85-mal. Python verwendet stattdessen das Verfahren „erzeuge genug Bits; liegt das Ergebnis außerhalb des Bereichs, verwirf es und erzeuge neu“ (Verwerfungsmethode, rejection sampling). Für das richtige Ergebnis leistet es bewusst zusätzliche Arbeit.
Eine kleine Anmerkung: Diese statistische Qualität bedeutet keine Sicherheit. Wer 624 aufeinanderfolgende Ausgaben des Mersenne-Twisters sieht, kann den inneren Zustand berechnen und alle folgenden Zahlen vorhersagen. Für Passwörter und Schlüssel gehört das Modul secrets her.
3. Die eigentliche Frage: Ist der Zufall echt?
Bis hierhin ging es um Computer. Dann ließ mich etwas anderes nicht mehr los.
In der Quantenmechanik verhält sich ein Teilchen, als würde es bis zur Messung in zwei Zuständen zugleich „warten“; misst man, tritt einer davon ein, der andere verschwindet. Was, wenn das kein echter Zufall ist? Was, wenn das Universum auf der kleinsten Zeitskala ganz regelmäßig 0101010101... läuft und wir nur deshalb etwas Zufälliges sehen, weil wir diese Folge in groben Abständen betrachten?
Hinter dieser Intuition steckt ein echter Mechanismus: Aliasing. Deshalb scheinen sich in Filmen die Räder eines Autos rückwärts zu drehen. Tastet man ein schnelles Muster langsam ab, entsteht ein falsches Bild. Auch der Unterschied der Größenordnungen ist nicht eingebildet: Die Planck-Zeit beträgt etwa 5,4×10⁻⁴⁴ Sekunden, die kürzeste je gemessene Zeitspanne 247 Zeptosekunden (2,47×10⁻¹⁹ Sekunden). Dazwischen liegt mehr als ein Faktor 10²⁴. Da unten ist reichlich Platz, damit etwas geschieht.
Aber 0101 ist genau die Art von Ordnung, die nicht funktioniert. Ich habe diese Folge in verschiedenen Abständen abgetastet:
Schritt 1: 01010101010101010101... Anteil der 1en = 50 %
Schritt 2: 00000000000000000000... Anteil der 1en = 0 %
Schritt 3: 01010101010101010101... Anteil der 1en = 50 %
Schritt 7: 01010101010101010101... Anteil der 1en = 50 %
Schritt 1024: 00000000000000000000... Anteil der 1en = 0 %Tastet man eine periodische Quelle in festen Abständen ab, bekommt man keinen Zufall, sondern etwas anderes Periodisches: bei geradem Schritt immer dasselbe Ergebnis, bei ungeradem eine regelmäßige Schwingung. Würde das Universum wirklich so funktionieren, hätten wir es beim ersten Experiment bemerkt.
Doch die Quelle muss gar nicht periodisch sein – deterministisch zu sein genügt. In dieser Regel steckt keinerlei Zufall:
x = 0.30000000001
for _ in range(100_000):
x = 4 * x * (1 - x) # logistische Abbildung
bit = 1 if x > 0.5 else 0Die Ausgabe lautet 11100010100110011001..., und der Anteil der Einsen beträgt 49,82 %. Eine acht Zeichen lange Formel erzeugt eine Folge, die sich statistisch nicht von Münzwürfen unterscheiden lässt. Als ich den Startwert um ein Billionstel veränderte (0,300000000011), trennten sich die beiden Folgen beim 38. Bit und trafen sich nie wieder. Dieselbe Regel, eine völlig andere Zukunft.
Die Lehre daraus: Deterministisch zu sein und vorhersagbar zu sein ist nicht dasselbe. Ordnung kann chaotisch sein.
4. Die Excel-Tabelle: Was, wenn die Spalten die Zeit wären?
Um die Idee klarer zu machen, habe ich eine Tabelle angelegt:
Spalte (Zeit) → A B C D E F G H I J K L ...
Münze 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
Würfel 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ...
Dreiseitig 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ...Die Spalten sind die Zeit. Auf der kleinsten Zeitskala arbeitet das Universum wie ein Zähler und durchläuft die sechs Seiten des Würfels der Reihe nach, ohne sich je zu verzählen. Die Statistik ist von Anfang an garantiert: Jede Seite bekommt genau 1/6, weil der Zähler alle gleich oft überstreicht. Wenn wir würfeln, passiert nur eines: Wir treffen irgendeine Spalte des laufenden Zählers. Was wir „Zufall“ nennen, ist keine Eigenschaft des Ereignisses, sondern unserer Position in der Zeit.
Nennen wir es das „Kilometerzähler-Universum“. Die Idee hat einen ehrwürdigen Stammbaum: Ludwig Boltzmanns Ergodenhypothese aus den 1870er-Jahren sagt fast genau das. Durchläuft ein System in hinreichend langer Zeit alle seine möglichen Zustände, dann ist der Zeitmittelwert gleich dem Wahrscheinlichkeitsmittelwert. Das gesamte Gebäude der statistischen Mechanik steht auf dieser Annahme.
5. Das Kilometerzähler-Universum hinterlässt einen Fingerabdruck
Die Idee ist schön – und gerade deshalb überprüfbar.
Ein Zähler gleicht seine Ergebnisse von selbst aus. Hat er zu viele Sechsen gezeigt, kommt er zwangsläufig bei den anderen Seiten vorbei und schließt die Lücke. Die Abweichung stößt an eine Decke und bleibt dort. Ein echter Würfel hat kein Gedächtnis und schließt keine Lücken; seine Abweichung wandert frei und wächst mit √n.
Ich habe beide verglichen. Im Kilometerzähler-Universum dreht sich der Würfel der Reihe nach von 1 bis 6, und wir schauen in festen Abständen hin, die keinen gemeinsamen Rhythmus mit dem Zähler haben (goldener Schnitt). Ihm gegenüber steht ein gewöhnlicher Zufallswürfel. Die Tabelle zeigt, wie weit die „Anzahl der Sechsen“ vom erwarteten Wert n/6 abweicht:
n Zähler Zufall Erwartetes σ
------------------------------------------------
100 0,7 3,3 4
1.000 0,3 4,3 12
10.000 0,7 89,3 37
100.000 0,3 86,3 118
1.000.000 0,7 123,3 373Im Kilometerzähler-Universum bleibt die Abweichung selbst nach einer Million Würfen unter 1. Beim Zufallswürfel steigt sie in die Hunderte. (Die 89 in der Zeile 10.000 ist eine etwas unglückliche Abweichung, etwa 2,4σ. Die Zufallsspalte ändert sich bei jedem Lauf; entscheidend ist die Wachstumstendenz.)
In beiden Welten nähert sich jede Seite 1/6 an – aber auf unterschiedliche Weise. Das Kilometerzähler-Universum wäre „zu ordentlich“ im Vergleich zum echten. Das ist ein messbarer Unterschied, und Quanten-Zufallszahlengeneratoren zeigen in Standardtests √n-Verhalten. Zumindest in der Schicht, die wir erreichen können, schließt das Universum seine Lücken nicht.
6. Der Rettungsweg und sein Preis
Es gibt einen Weg, das Modell zu retten: Sagt man „wir treffen den Zähler zu zufälligen Zeitpunkten“, normalisiert sich die Verteilung wieder, und √n kehrt zurück.
Doch in dem Moment, in dem man diesen Satz ausspricht, hat man den Zufall nicht abgeschafft, sondern verlagert. Das Würfelergebnis ist jetzt deterministisch, aber „welche Spalte wir treffen“ ist zufällig. Was also bestimmt den Zeitpunkt unserer Messung?
- Ist auch der Messzeitpunkt deterministisch, dann steht auch schon fest, welche Spalte Sie treffen. Nicht Sie haben beschlossen zu würfeln; der Zähler hat Sie in dieser Spalte beim Würfeln angetroffen. Das nennt man Superdeterminismus. Logisch ist er einwandfrei, aber der Preis ist hoch: Wenn die Entscheidung der Person, die das Experiment durchführt, Teil derselben Folge ist wie das, was sie misst, verliert der Begriff „unabhängiges Experiment“ seinen Sinn.
- Ist der Messzeitpunkt zufällig, sind Sie wieder am Anfang. Der Zufall steckt immer noch im Universum; er ist nur von der Würfelseite aufs Zifferblatt gewandert.
Man kann das auch in der Sprache der Informationstheorie sagen. Ist das Ergebnis eine deterministische Funktion des Abtastzeitpunkts, kann die Unsicherheit (Entropie) des Ergebnisses nicht größer sein als die Unsicherheit des Abtastzeitpunkts: H(Ergebnis) ≤ H(Zeitpunkt). Das Zählermodell senkt das Zufallsbudget überhaupt nicht; es bucht die Rechnung nur auf einen anderen Posten.
Vielleicht ist der Zufall gar kein Gegenstand im Universum, sondern der Name des Punktes, an dem die Erklärungskette auf Grund stößt – wohin man sie auch schiebt.
7. Ein Blick in die Literatur: Die Idee hat längst Urheber
Wir haben in die Literatur geschaut, ob daraus ein Fachartikel werden könnte. Die kurze Antwort: nein, denn jede Schicht der Idee wurde schon einmal gedacht. Aber wer sie gedacht hat, ist interessant.
Die philosophische These. Der Nobelpreisträger Gerard 't Hooft vertritt in seinem Buch The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics (2016) genau das: Unter der Quantenmechanik könnte ein deterministischer zellulärer Automat auf der Planck-Skala arbeiten.
Der statistische Test. Kavulich, Van Deren und Schlosshauer (Physics Letters A, 2021) unterzogen 100 Folgen von je 1,68 Milliarden Bit aus dem Quanten-Zufallszahlengenerator der Australian National University (ANU) Tests auf algorithmische Zufälligkeit. Um 64.000 Bit lange Folgen eines zweiten Quantengenerators auf dieselbe Länge zu bringen, ließen sie diese in Schleife laufen, und sie nutzten die zyklischen Folgen auch, um zu prüfen, ob die Tests die Wiederholung erkennen. Zwischen Quantengeneratoren und klassischen Pseudozufallsgeneratoren fanden sie keinen statistisch signifikanten Unterschied.
Die Signatur „die Abweichung stößt an eine Decke“ hat in der Literatur auch Standardnamen: ein Hurst-Exponent H < 0,5 (Antipersistenz, also eine Tendenz zur Rückkehr) und Folgen mit geringer Diskrepanz (low-discrepancy sequences). Dass Letztere Standardtests auf Zufälligkeit nicht bestehen, ist Lehrbuchwissen. Die einfache Form des Kilometerzähler-Universums wird also schon von vorhandenen Tests ausgeschlossen.
Die gerettete Form. Hier kommt der überraschendste Teil. Die Idee „die verborgene Variable ändert sich mit der Zeit; wer schnell genug misst, erwischt sie“ ist genau das Experiment, das Sabine Hossenfelder und Tim Palmer in ihrem Artikel Rethinking Superdeterminism (2020) vorgeschlagen haben. Ihr Vorschlag, grob gesagt: möglichst identisch präparierte Zustände, möglichst kleine und kalte Apparaturen und möglichst kurze Zeitabstände.
Möglichst kurze Zeitabstände: die Spalten der Excel-Tabelle. Dieses Experiment wurde bisher nicht überzeugend durchgeführt; aber es ist Arbeit fürs Labor, nicht für den Schreibtisch.
Ein Detail: Die Bell-Tests, für die es 2022 den Nobelpreis für Physik gab (Aspect, Clauser, Zeilinger), schließen lokale Modelle mit verborgenen Variablen aus, können den Superdeterminismus aber nicht ausschließen. Hossenfelder sagt das offen: Bell-artige Tests werden den Superdeterminismus niemals von der Quantenmechanik unterscheiden können. Der Weg, den sie vorschlägt, ist die Suche nach Abweichungen von der Bornschen Regel in kleinen, kalten Systemen.
8. Zum Schluss: Selbst wenn das Schicksal feststeht
Angenommen, 't Hooft hat recht und das Universum ist tatsächlich ein deterministischer Automat. Ändert sich dann etwas?
Stephen Wolfram hat dafür einen Begriff: computationale Irreduzibilität (computational irreducibility). Für manche deterministischen Systeme gibt es keinen kürzeren Weg, ihre Zukunft zu erfahren, als sie Schritt für Schritt ablaufen zu lassen. Das Universum ist seine eigene schnellste Simulation, und wir sind mittendrin. Selbst wenn das Schicksal vollständig geschrieben ist, kann niemand, der von innen schaut, es im Voraus lesen.
Vielleicht ist die eigentliche Frage diese: Wenn kein Experiment „wirklich zufällig“ von „deterministisch, aber prinzipiell unzugänglich“ unterscheiden kann – bedeutet der Unterschied dann überhaupt etwas?
Die Excel-Tabelle hat noch eine Eigenschaft: Alle Spalten stehen gleichzeitig auf dem Blatt. Vergangene Spalten werden nicht gelöscht, zukünftige warten nicht. In der Philosophie nennt man das Blockuniversum, und es folgt ganz natürlich aus Einsteins Relativitätstheorie. Als sein enger Freund Michele Besso starb, schrieb Einstein an dessen Familie, die Unterscheidung zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft sei nur eine hartnäckige Illusion.
Von einem Münzwurf-Skript sind wir bis hierher gekommen. Würfelt das Universum – oder zählt es? Wir wissen es nicht. Aber wir wissen jetzt, mit welchem Experiment sich die Frage prüfen lässt, und das ist nicht wenig.
Quellen
- Gerard 't Hooft, The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics, Springer (2016). arXiv:1405.1548
- J. T. Kavulich, B. P. Van Deren, M. Schlosshauer, "Searching for evidence of algorithmic randomness and incomputability in the output of quantum random number generators", Physics Letters A 388, 127032 (2021). arXiv:2101.01238
- S. Hossenfelder, T. N. Palmer, "Rethinking Superdeterminism", Frontiers in Physics (2020). arXiv:1912.06462
- S. Hossenfelder, "Superdeterminism: A Guide for the Perplexed" (2020). arXiv:2010.01324
- S. Grundmann et al., "Zeptosecond birth time delay in molecular photoionization", Science 370, 339 (2020).
- Low-discrepancy sequence, Wikipedia
- Dokumentation des Python-Moduls
random
Anhang: Der Code des Kilometerzähler-Experiments
import random
random.seed(42)
ALPHA = (5 ** 0.5 - 1) / 2 # goldener Schnitt: eine Abtastrate ohne gemeinsamen Rhythmus mit dem Zähler
for n in [100, 1_000, 10_000, 100_000, 1_000_000]:
# Kilometerzähler-Universum: der Würfel durchläuft 1..6 der Reihe nach; wir schauen in festen, aber inkommensurablen Abständen
zaehler_sechs = sum(1 for i in range(n) if int(((i * ALPHA) % 1) * 6) + 1 == 6)
# Echter Würfel
zufall_sechs = sum(1 for _ in range(n) if random.randint(1, 6) == 6)
erwartet = n / 6
sigma = (n * (1 / 6) * (5 / 6)) ** 0.5
print(n, round(abs(zaehler_sechs - erwartet), 1), round(abs(zufall_sechs - erwartet), 1), round(sigma))Dieser Beitrag ist aus einem Gespräch mit Claude entstanden. Den Code und die Tabellen haben wir während des Gesprächs gemeinsam ausgeführt.